ata a Firenze da padre tedesco e madre italiana, si è formata con i corsi dell’Accademia dei Piccoli di Firenze. Nel 2003 si diploma al Centro Sperimentale di Cinematografia; successivamente lavora in spettacoli teatrali, tra cui in Noccioline – Peanuts di Fausto Paravidino, per la regia di Valerio Binasco, e partecipa al videoclip dei Tiromancino I giorni migliori.
Il suo debutto cinematografico avviene nel 2004 nel film di Carlo Mazzacurati L’amore ritrovato. Nel 2005 è nella commedia Kiss me Lorena del gruppo I Licaoni. Dopo aver lavorato nel film Melissa P. di Luca Guadagnino e in 4-4-2 – Il gioco più bello del mondo di Claudio Cupellini, nel 2007 si fa notare nel film di Daniele Luchetti Mio fratello è figlio unico.
Il 2007 è un anno importante per la sua carriera sempre più in ascesa, infatti partecipa a Piano, solo di Riccardo Milani ed interpreta la figlia di Antonio Albanese e Margherita Buy in Giorni e nuvole di Silvio Soldini, ruolo per cui riceve il David di Donatello 2008 come “Migliore attrice non protagonista”. A luglio del 2009 le viene anche consegnato a Parma il Premio Schiaretti, riservato ai nuovi protagonisti del cinema italiano, vinto l’anno prima da Isabella Ragonese. Nel 2008 partecipa al film Riprendimi, presentato al Sundance Film Festival, a Caos calmo di Antonello Grimaldi, e a Il papà di Giovanna di Pupi Avati, con cui vince il David di Donatello 2009 come “Migliore attrice protagonista” e viene candidata ai Nastri d’Argento.
Seguono, tra gli altri, Due partite di Enzo Monteleone (2009), con cui viene nominata al Nastro d’argento per la “Migliore attrice non protagonista”; Io sono l’amore di Luca Guadagnino (2009); L’uomo che verrà di Giorgio Diritti (2009), per il quale viene nuovamente candidata al David di Donatello; Il tuo disprezzo per la regia di Christian Angeli (2010); Cosa voglio di più di Silvio Soldini (2010), con cui vince il Ciak d’Oro e viene ancora candidata ai Nastri d’Argento come “Migliore attrice protagonista”; Le meraviglie di Alice Rohrwacher (2014), vincitore del Gran Premio Speciale della Giuria in concorso al Festival di Cannes 2014; Hungry Hearts di Saverio Costanzo (2014), in concorso a Venezia, dove vince la Coppa Volpi per la “Migliore interpretazione femminile” e il Globo d’Oro come “Miglior attrice”; Vergine giurata, opera prima di Laura Bispuri, (2015) in concorso al Festival di Berlino.
Recentemente, Alba ha recitato in Il racconto dei racconti di Matteo Garrone (2015); Sangue del mio sangue di Marco Bellocchio (2015); Perfetti sconosciuti di Paolo Genovese (2016); I fantasmi di Ismaele di Arnaud Desplechin (2017), film d’apertura del Festival di Cannes; e The Place di Paolo Genovese (2017).
Il 2018 la vedrà protagonista in Figlia mia di Laura Bispuri, in concorso al Festival di Berlino;